Galois-Theorie

Galois-Theorie

 

[ga'lwa-], Algebra: von É. Galois entwickelte Theorie über den Zusammenhang zwischen den galoisschen Körpererweiterungen und ihren Galois-Gruppen. Mithilfe der Galois-Theorie lässt sich feststellen, ob eine algebraische Gleichung durch Radikale lösbar ist. Hierfür nimmt man als Grundkörper den Körper der Koeffizienten der Gleichung und erweitert ihn durch Adjunktion der gesuchten Lösungselemente. Ist die zu einer Gleichung zugehörige Galois-Gruppe G auflösbar, d. h., existiert eine Untergruppenkette G = G₀ G₁ G₂. .. G_n = e (e = neutrales Element der Gruppe) mit den Eigenschaften:

 

a) G_i ist Normalteiler von G_i+1,

 

b) die Quotientengruppe G_i+1 / G_i ist kommutativ, so ist auch die Gleichung auflösbar.

 

Allgemein lässt sich zeigen, dass algebraische Gleichungen vom Grade n ≦ 4 immer, während Gleichungen höheren Grades nur im Spezialfall (wenn die oben genannten Bedingungen erfüllt sind) durch Radikale gelöst werden können. In diesem Sinne stellt die Galois-Theorie eine Erweiterung des abelschen Satzes dar. - Die Galois-Theorie gibt auch Auskunft darüber, ob eine geometrische Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal ausführbar ist. Insbesondere konnte man mithilfe der Galois-Theorie die Unlösbarkeit des delischen Problems, der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises (mit Zirkel und Lineal) zeigen.

 

Literatur:

 

H. M. Edwards: Galois theory (New York 1984);

 E. Artin: Galoische Theorie. (a. d. Engl., Thun ³1988).